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%第四周习题

%6.1. 集合与映射
%6.2. 线性空间的定义与简单性质
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%摘要 Week D Teaching Goal 
\newcommand{\DABSA}{集合与映射。}
\newcommand{\DABSAa}{理解映射的像与原像的概念。}
\newcommand{\DABSAb}{理解单射、满射与逆映射的概念。}

\newcommand{\DABSB}{线性空间的定义与简单性质。}
\newcommand{\DABSBa}{理解线性空间的概念。}
\newcommand{\DABSBb}{理解线性空间的一些例子。}
\newcommand{\DABSBc}{使用线性空间的公理，证明线性空间的基本性质。}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%讲解 Week D Teaching A-

%\item % 1.
\newcommand{\DTA}{
设 $M, N$ 是两个集合，且 \( M \subseteq N \)，证明 $M \cap N = M$. 
}

%\item % 1a.
\newcommand{\DTAsol}{
{\color{red}解答：写出集合、子集、并集的定义。}
}

%\item  %2. 
\newcommand{\DTB}{
设 $M, N, L$ 是三个集合，证明 $M \cap (N \cup L) = (M \cap N) \cup (M \cap L)$. 
}

%\item  %2a. 
\newcommand{\DTBsol}{
{\color{red} 解答：证明左边是右边的子集，右边也是左边的子集。}
}


%\item  %3. 
\newcommand{\DTC}{
记 $M_2(\mathbb{R})$ 是 $2$ 阶实数矩阵全体组成的集合，对每个 $A\in M_2(\mathbb{R})$, 定义 $\sigma(A)=|A|$ 为矩阵 $A$ 的行列式，这样就定义了一个映射 $\sigma: M_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$. 
\begin{enumerate}
\item  判断这个映射是否为单射。
\item  判断这个映射是否为满射。
\item  求反对称矩阵全体组成的子集的像。
\item  求 $1$ 的原像。
\end{enumerate}
}

%\item  %3a. 
\newcommand{\DTCsol}{
{\color{red}解答：写出映射、单射、满射、像、原像的概念。画图说明。}
}



%\item  %4. 
\newcommand{\DTD}{
记 $\mathbb{R}[x]$ 是实系数一元多项式全体组成的集合。记 
%$$H=\{(a_0,a_1,\cdots, a_k,\cdots)\mid \textrm{存在自然数} n, \textrm{使得当} k>n \textrm{时有} a_k=0 \}$$ 
$$H=\{(a_0,a_1,\cdots, a_k,\cdots)\mid \exists n\in\mathbb{N} \,\textrm{s.t.}\,\forall k>n:\, a_k=0 \}$$
是只有有限项不为零的所有实数序列组成的集合。定义 
$$\sigma(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)=(a_0,a_1,\cdots, a_n,0,0,\cdots).$$
证明 $\sigma: \mathbb{R}[x]\to H$ 是双射， 并求出其逆映射。
}


%\item  %4a. 
\newcommand{\DTDsol}{
{\color{red}解答：写出双射、逆映射的定义。}
}

%\item  %5.
\newcommand{\DTE}{
设 $a,b$ 是两个实数，设线性函数 $f(x)=ax+b$. 设映射 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是双射。
求 $a,b$ 需要满足的条件。在这个条件下求出 $f$ 的逆映射。
}

%\item  %5a. 
\newcommand{\DTEsol}{
{\color{red}解答：画出这个函数的图像。}
}


%\item  %6.
\newcommand{\DTF}{
设 $a,b,c,d$ 都是实数，设三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. 设映射 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是双射。
求 $a,b,c,d$ 需要满足的条件。%在这个条件下求出 $f$ 的逆映射。
}

%\item  %6a. 
\newcommand{\DTFsol}{
{\color{red}解答：画出这个函数的图像。考虑函数的导数。}
}


%\item  %7
\newcommand{\DTG}{
写出线性空间的定义。
}

%\item %7a
\newcommand{\DTGsol}{
{\color{red}定义：数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$, 是指\underline{一个集合以及两种运算}：}
\begin{enumerate}
\item[1.] {\color{red}加法运算：$'+': V\times V \to V$, $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha+\beta$, }
\item[2.] {\color{red}数乘运算：$'\cdot': \mathbb{F}\times V \to V$, $(k,\alpha)\mapsto k\cdot\alpha$, }
\end{enumerate}
{\color{red}符合八条公理：} 
\begin{enumerate}
\item[A1-A4.]  {\color{red}加法交换律；加法结合律；存在零向量；每个向量都存在负向量；}
\item[A5-A6.]  {\color{red}数乘与加法的第一种分配律；数乘与加法的第二种分配律；}
\item[A7.]  {\color{red}数乘再数乘的效果；}
\item[A8.]  {\color{red}用1数乘的效果。}
\end{enumerate}
}


%\item  %8 
\newcommand{\DTH}{
验证直线 $\mathbb{R}^1$, 平面 $\mathbb{R}^2$, 立体空间 $\mathbb{R}^3$ 与 $n$ 维实向量空间 $\mathbb{R}^n$ 都是实线性空间。 
}

%\item %8a
\newcommand{\DTHsol}{
{\color{red}解答：指出这些集合中的线性运算。验证8条公理。 }
}



%\item  %9 
\newcommand{\DTI}{
验证实数轴 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数全体组成的集合 $C(-\infty,+\infty)$ 在函数的加法与数乘运算下是一个实线性空间。证明向量组 $\{1,x,e^x\}$ 线性无关。
}

%\item %9a
\newcommand{\DTIsol}{
{\color{red}解答：指出线性运算。验证8条公理。验证线性无关的定义。 }
}


%\item  %10 
\newcommand{\DTJ}{
验证实系数一元多项式全体组成的集合 $\mathbb{R}[x]$ 在函数的加法与数乘运算下是一个实线性空间。证明向量组 $\{1,x,x^2,x^3\}$ 线性无关。
}

%\item %10a
\newcommand{\DTJsol}{
{\color{red}解答：指出线性运算。验证8条公理。验证线性无关的定义。 }
}


%\item  %11 
\newcommand{\DTK}{
验证 $m\times n$ 阶实数矩阵全体组成的集合 $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ 在矩阵的加法与数乘运算下是一个实线性空间。找出一个线性无关的向量组。
}

%\item %11a
\newcommand{\DTKsol}{
{\color{red}解答：以$n=2$ 为例。指出线性运算。验证8条公理。 }
}


%\item  %12 
\newcommand{\DTL}{
证明线性空间的基本性质：
\begin{enumerate}
\item  零元素是唯一的。（记为 $\theta$.） 
\item  每个元素的负元素是唯一的。
\item  $0\alpha=\theta$, $k\theta=\theta$, $(-1)\alpha=-\alpha$.
\item  若 $k\alpha=\theta$, 则 $k=0$ 或 $\alpha=\theta$. 
\end{enumerate}
}

%\item %12a
\newcommand{\DTLsol}{
{\color{red}解答：从8条公理出发进行证明。 }
}



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%%习题 Week D Exercise A-

%\item  %1. 
\newcommand{\DEA}{
设 \( M \subseteq N \), 证明 $M \cup N = N$.
}


%\item  %2. 
\newcommand{\DEB}{
证明 $M \cup (N \cap L) = (M \cup N) \cap (M \cup L)$.
}

%\item  %3. 
\newcommand{\DEC}{
检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
\begin{enumerate}
    \item 次数等于 \( n(n \geq 1) \) 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法。
%    \item 设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 实矩阵，\( A \) 的实系数多项式 \( f(A) \) 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
    \item 全体 \( n \) 阶实对称（实反对称，实上三角形）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法。
%    \item 平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
%    \item 全体实数的二元数列，对于如下定义的运算①：
%    \[
%    (a_1, b_1) \oplus (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2 + a_1 a_2),
%    \]
%    \[
%    k \circ (a_1, b_1) = \left( ka_1, kb_1 + \frac{k(k-1)}{2} a_1^2 \right);
%    \]
    \item 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：\( k \circ \alpha = 0 \).
    \item 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： \( k \circ \alpha = \alpha \).
%    \item 全体正实数 \( \mathbb{R}^* \)，加法与数量乘法定义为 \( a \oplus b = ab, \quad k \circ a = a^k. \)
\end{enumerate}
}


%\item  %4. 
\newcommand{\DED}{
在线性空间中，记 $\theta$ 是零向量。使用线性空间的定义，证明：
\begin{enumerate}
    \item \( k\theta = \theta \). 
    \item \( k(\alpha - \beta) = k\alpha - k\beta \). 
\end{enumerate}
}


%\item  %5. 
\newcommand{\DEE}{
证明：在实函数空间中，向量组 \( \{ 1, \cos^2 t, \cos 2t \}\) 是线性相关的。
}


%\item  %6. 
\newcommand{\DEF}{
证明：如果 \( f_1(x), f_2(x), f_3(x) \) 是线性空间 \( \mathbb{R}[x] \) 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关。【例如：$x(x-1), x(x-2), (x-1)(x-2)$. 】
}


